Matematika
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola,[2][3] merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.[4]
Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".[5] Di pihak lain, Albert Einstein
menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada
kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak
merujuk kepada kenyataan."[6]
Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides, Elemen.
Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.[7]
Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan,
cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke
bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan
matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan
disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan.
Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni,
atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya
penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi
latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan
terkemudian.[8]
Daftar isi |
Etimologi
Kata "matematika" berasal dari bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma), yang berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu
yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi "pengkajian
matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah
μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atau tekun belajar, yang lebih jauhnya berarti matematis. Secara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa Latin ars mathematica, berarti seni matematika.
Bentuk jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal la mathématique), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristoteles, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".[9] Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda mathematics mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai math di Amerika Utara dan maths di tempat lain.
Sejarah
Artikel utama untuk bagian ini adalah:
Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi
yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok
masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang[10], adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.
Selain mengetahui cara mencacah objek-objek fisika, manusia prasejarah juga mengenali cara mencacah besaran abstrak, seperti waktu — hari, musim, tahun. Aritmetika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) mengikuti secara alami.
Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem bilangan ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir, Lembaran Matematika Rhind.
Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi.[11] Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.
Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan sains,
menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat
sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk,
pada Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data Mathematical Reviews
sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan
melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap
tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi teorema matematika baru beserta bukti-buktinya."[12]
Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika
Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit
yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya
masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan kemudian astronomi;
kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji
oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam
matematika itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori dawai masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.[13]
Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang
mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di
wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di
satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan
menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang
menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi
memiliki terapan praktis adalah apa yang Eugene Wigner memanggilnya sebagai "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam".[14]
Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di
zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu
perbedaan utama adalah di antara matematika murni dan matematika terapan:
sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada
satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini
perkuliahan program sarjana
mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan
tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin
yang memiliki hak tersendiri, termasuk statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.
Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu
aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan
berbicara tentang keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, dan di dalam metode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology
mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya
sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.[15]
Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.[16][17] Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.
Notasi, bahasa, dan kekakuan
Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.[18] Pada abad ke-18, Euler
bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi
modern membuat matematika lebih mudah bagi para profesional, tetapi para
pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi
pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya.
Seperti notasi musik,
notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan
menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara
lain.
Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti atau dan hanya memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal terbuka dan lapangan memberikan arti khusus matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal homomorfisme dan terintegralkan.
Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika
memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para
matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "kaku" (rigor).
Kaku secara mendasar adalah tentang bukti matematika.
Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma
dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "teorema" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.[19] Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: bangsa Yunani menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan Isaac Newton
kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang
digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan
bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus
beradu argumentasi tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.[20]
Aksioma
menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti
dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan
formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai lambang, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatu aksiomatisasi
terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian,
matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain
kecuali teori himpunan
di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan
atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori
himpunan.[21]
Matematika sebagai ilmu pengetahuan
Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".[22] Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan
berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa
Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini
adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna
menjadi ilmu pengetahuan alam adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan.
Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh
hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah
pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]
Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper.[23]
Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika
menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan
Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti
halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif:
oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam
yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada
sebagai hal yang baru."[24] Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.
Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis)
adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian
sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan
teoretis, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.[25]
Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu
pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari
beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan juga berperan penting di dalam perumusan konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya).
Matematika percobaan
terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika,
kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat,
baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi
yang mana matematika tidak menggunakan metode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.
Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka
macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka
sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan
sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal
tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap
ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap
fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu
pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika.
Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika diciptakan (seperti di dalam seni) atau ditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan dan Matematika,
ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi
mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran
praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para
ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir.
Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat matematika.
Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari
kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di
dalam matematika adalah Fields Medal (medali lapangan),[26][27] dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan.
Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel,
diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya,
dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di
dalam lapangan yang mapan.
Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah terbuka, yang disebut "masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert.
Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan,
dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan.
Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Hadiah Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.
Bidang-bidang matematika
Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena
kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan
antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi.
Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan
pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran,
struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis).
Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang
dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika
ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.
Besaran
Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.
Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam bilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.
Ruang
Pengkajian ruang bermula dengan geometri – khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema pitagoras
yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum
gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, geometri tak-euclid (yang berperan penting di dalam relativitas umum) dan topologi. Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri analitik, geometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan.
Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang telah lama ada dan teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.
Perubahan
Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. Fungsi-fungsi muncul di sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk bilangan kompleks.
Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. Analisis fungsional memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum.
Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai persamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan sistem dinamika; teori kekacauan mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja belum terdugakan.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
| Kalkulus | Kalkulus vektor | Persamaan diferensial | Sistem dinamika | Teori chaos | Analisis kompleks |
Struktur
Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan aljabar abstrak. Sebuah konsep penting di sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor, dan dikaji di dalam aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno tentang Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya terpecahkan oleh Teori galois.
Dasar dan filsafat
Untuk memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori
yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan
pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an.[28]
Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga
kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu,
termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.
Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem formal yang berisi aritmetika dasar, jika suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan di dalam sistem itu).
Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, sembarang
kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan
formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta
teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu,
tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan
sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam teori rekursi, teori model, dan teori pembuktian, dan terpaut dekat dengan ilmu komputer teoretis.
Matematika diskret
Matematika diskret adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - Mesin turing.
Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer;
beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer,
tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat
dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras
komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada
banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh
karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.
Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki
sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah
masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.[29]
Matematika terapan
Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah statistika, yang menggunakan teori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.)
Analisis numerik
menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah
matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas
numerik manusia, analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar